Συνεχίζοντας τη σειρά των κειμένων για το κβαντικό σύμπαν, σήμερα θα μιλήσουμε για την άκαρπη αναζήτηση «αόρατων» παραμέτρων που θα εξηγούσαν συμπεριφορές σωματιδίων του μικρόκοσμου.

Είναι καιρός να γίνει λόγος για μια συμπεριφορά του κβαντικού κόσμου που δαιμόνισε και τον ίδιο τον Αϊνστάιν αφού φαινομενικά διαψεύδει το ότι η θεωρία του για τη μέγιστη ταχύτητα στο Σύμπαν βάζει ως όριο την ταχύτητα του φωτός, δηλαδή τις 300.000 χιλιόμετρα το δευτερόλεπτο. Γι’ αυτό και εκείνος με αρνητική διάθεση τη βάφτισε «στοιχειωμένη δράση εξ αποστάσεως» (spooky action at a distance).

Αν όμως θελήσει κάποιος να φωτίσει τον δρόμο χωρίς να καταφύγει σε εξισώσεις, που λειτουργούν μεν εξαιρετικά και δίνουν αποτελέσματα αλλά μπορεί να αφήσουν τον αναγνώστη με τις ίδιες απορίες όπως και πριν, βρίσκει πως οι έννοιες που πρέπει να εξηγηθούν είναι η μία μέσα στην άλλη, σαν τα πολλά… πουκάμισα του κρεμμυδιού.

Γι’ αυτό αρχίζουμε από κάτι πολύ σημαντικό αλλά και γριφώδες, όπως το υπαινίσσεται και το ίδιο το όνομά του. Πρόκειται για τις λεγόμενες «κρυμμένες μεταβλητές» (hidden variables). Οπου για την κατανόησή τους αντλούμε παραδείγματα από εντελώς άλλους χώρους.

Παιχνίδια στατιστικής

Γνωρίζουμε πως κάτι πολύ χρήσιμο είναι η γεννήτρια τυχαίων αριθμών που βρίσκεται και στους περισσότερους υπολογιστές. Ας δεχθούμε ότι παράγει και εμφανίζει κάθε φορά που πατάμε το πλήκτρο space (για να πάμε μια θέση παρακάτω στην οθόνη) ένα από τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Χωρίς υποτίθεται κάποιον φανερό κανόνα που να επιτρέπει να προβλέψουμε κάθε φορά ποιο θα είναι το επόμενο εμφανιζόμενο ψηφίο. Ας υποθέσουμε πως αυτό γίνεται με τη βοήθεια ενός κυκλώματος που λειτουργεί ως να ήταν ένα κρυμμένο ρολόι μέσα στον υπολογιστή. Αν λοιπόν αυτό μετρούσε με ακρίβεια χιλιοστών του δευτερολέπτου (δηλαδή έως και milliseconds, msec), και κάθε φορά που πατούσαμε το space (τυχαία, όποτε μας ερχόταν η διάθεση) εμφάνιζε το τελευταίο ψηφίο του χρόνου, π.χ. αν από τότε που ξεκινήσαμε τώρα βρισκόμαστε στο 151.231 δευτερόλεπτο, η γεννήτρια των τυχαίων αριθμών θα εμφάνιζε το ψηφίο 1.

Αν όλα εξελίσσονταν με ομαλά τυχαίο τρόπο μετά από έναν μεγάλο αριθμό δοκιμών, ας πούμε κάπου δύο χιλιάδες πατημάτων του πλήκτρου space (και ο μηχανισμός που επινοήσαμε για τους τυχαίους αριθμούς είναι αξιόπιστος), θα πρέπει το καθένα από τα δέκα ψηφία να έχει εμφανιστεί πολύ κοντά στο ένα δέκατο των δύο χιλιάδων.

Αποφατική περιγραφή

Αυτή η διαδικασία δίνει μια ιδέα για το τι είναι οι κρυμμένες μεταβλητές. Η ιδέα ότι έχουμε πιθανότητα το ένα δέκατο πατημάτων να βγάζει το καθένα από τα ψηφία είναι ακριβώς στατιστική και εμπεριέχει το ρίσκο και την αβεβαιότητα της στατιστικής. Η γνώση όμως του ακριβούς μηχανισμού παραγωγής των ψηφίων και η παρακολούθησή του επιτρέπει να ξέρουμε στο τέλος ακριβώς πόσα θα είναι από το καθένα. Στον κβαντικό κόσμο όπως ήδη έχουμε αναφέρει λειτουργούν τα πράγματα με πιθανότητες και όχι συμπαγείς βεβαιότητες και μηχανισμούς ακριβέστατων προβλέψεων.

Εχουν γίνει πολλές απόπειρες στο παρελθόν τα κβαντικά φαινόμενα και οι αντίστοιχες συμπεριφορές των σωματιδίων να περιγραφούν και να εξηγηθούν με την παραδοχή της ύπαρξης κρυμμένων μεταβλητών, αλλά δεν απέδωσαν.

Ο λόγος που γράφτηκαν τα παραπάνω είναι γιατί η περιγραφή των συμπεριφορών στον μικρόκοσμο μπορεί να γίνει μερικές φορές αποφατικά, δηλαδή με το τι δεν είναι κάτι.

Πνευματική Γυμναστική

1. Δύο συμφοιτητές θέλησαν να αγοράσουν ένα βιντεοπαιχνίδι. Κοίταξαν τι χρήματα είχαν και διαπίστωσαν πως δεν μπορούσαν να το αγοράσουν καθώς ο ένας είχε 2 ευρώ λιγότερα από όσο έκανε το παιχνίδι και ο άλλος, ακόμη χειρότερα, είχε 32 ευρώ λιγότερα. Αν υποθέσουμε πως η τιμή του παιχνιδιού ήταν ένας ακέραιος αριθμός σε ευρώ, ποια ήταν αυτή;

2. Το 1937 ένας ονόματι Σάμιουελ Κρίγκερ νόμισε κάποια στιγμή ότι είχε βρει μια εξίσωση που διέψευδε το Θεώρημα του Φερμά (το οποίο έλεγε ότι δεν υπάρχουν τιμές του ν μεγαλύτερες του 2 που για τριάδα ακέραιων α, β, γ να ισχύει ότι αν + βν = γν ). Η εξίσωση του Κρίγκερ ήταν η εξής: 1324ν +731ν = 1961ν . Κάποιοι τον πίστεψαν στην αρχή αλλά μια προσεκτική εξέταση της εξίσωσης δείχνει ότι δεν μπορεί τα δύο μέλη να είναι ίσα. Γιατί;

Οι απαντήσεις στα κουίζ του φύλλου της 17ης Ιουλίου

1. Ενας ταξιδιώτης ξεκίνησε να κάνει τον γύρο του κόσμου με τα πόδια. Πριν ξεκινήσει μέτρησε το ύψος του (1,80 μέτρα), το βάρος του (78 κιλά), πήρε την πίεσή του και ξεκίνησε. Στην επιστροφή, μετρήθηκε ξανά και ήταν όλα ίδια με πριν αλλά μεταξύ άλλων είχε κουβαλήσει στο σπίτι την έμμονη ιδέα ότι το κεφάλι του είχε κάνει περίπου 11 μέτρα πιο πολλά από το σώμα του, χωρίς όμως να αποχωριστεί από αυτό. Τον είχε πειράξει το ταξίδι, το πέρασμα από την Ινδία ή κάτι άλλο είχε συμβεί; Αν δεχθούμε ότι η Γη είναι τέλεια σφαίρα περπατώντας στην επιφάνειά της είτε στον Ισημερινό είτε σε οποιοδήποτε άλλο πλάτος, η διαφορά ανάμεσα στα πόδια και στο κεφάλι είναι 2π(R + ΔR) – 2πR. Με ΔR να είναι το ύψος του ανθρώπου. Αρα η διαφορά στη διανυόμενη απόσταση από τα πόδια στο κεφάλι είναι 2 x π x (1,8) ή 11,3 μέτρα.

2. Ας φανταστούμε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων και μια ευθεία γραμμή, όλα αυτά επάνω σε ένα τεράστιο επίπεδο κομμάτι χαρτί. Μας ζητούν να αποδείξουμε ότι για την ευθεία αυτήν, όπως θα την έχουμε τοποθετήσει ως προς τους άξονες, μπορεί να συμβαίνει ένα από τα εξής: α)να περνάει από ένα μόνον σημείο που οι συντεταγμένες του (x,y) να είναι ακέραιοι αριθμοί, β) σε όλο το μήκος της μπορεί κανένα σημείο της να έχει ακέραιες συντεταγμένες, γ) να περνάει από ένα άπειρο πλήθος σημείων με ακέραιες συντεταγμένες (με άλλα λόγια δεν μπορεί να περνάει από έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων με ακέραιες συντεταγμένες όπως δύο ή τρεις ή πέντε χιλιάδες κ.λπ.). Εδώ θέλει προσοχή αλλά όχι προχωρημένες γνώσεις. Μπορεί μια ευθεία να μην περνάει από σημεία με συντεταγμένες ακέραιους αριθμούς. Για παράδειγμα, η ευθεία ψ = χ + √2 αφού η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός. Επίσης μπορεί να περνάει από μόνον ένα σημείο με «ακεραίους» ως συντεταγμένες, π.χ. η ψ = χ√2 από το σημείο (0,0). Δεν μπορεί επίσης να περάσει από πεπερασμένο αριθμό σημείων με ακέραιες συντεταγμένες (πλην του (0,0). Διότι αν περνάει από ένα τέτοιο σημείο αυξάνοντας τις συντεταγμένες χ και ψ κατά ακέραιες ποσότητες θα προκύπτουν νέα σημεία με συντεταγμένες ακεραίους. Και αυτά θα είναι άπειρα.